牛客寒假集训营第六场补题

yuanheci 2023年02月06日 372次浏览

随着第六场的结束，这场短暂的旅行也走到了终点。虽然依旧很cai，但是cai并快乐着~

1、B题《阿宁的倍数》

题目描述

阿宁有一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，下标从 $1$ 开始，有 $q$ 次操作。

修改操作：数组末尾增加一个数 $x$ ，数组长度加 $1$ 。
询问操作：有多少个 $i(i>x)$ ，满足 $a_i$ 是 $a_x$ 的倍数？

输入描述

第一行两个整数 $n,q$ 。
第二行 $n$ 个整数 $a_i$ 。
接下来 $q$ 行，每行两个数 $op,x$ ，代表一次操作。
如果 $op$ 是 $1$ 代表是修改操作；如果是 $2$ 代表是询问操作。
$1\le n,q, a_i\le 2\times 10^5$
$1 \le op \le 2$
保证至少有一次询问操作。
如果是修改操作， $1 \le x\le 2\times 10^5$ 。
如果是询问操作， $x$ 小于等于当前数组长度。

输出描述

对于每次询问操作，输出一个整数，占一行。

示例1

说明

询问操作， $a_2,a_5$ 是 $a_1$ 的倍数。
修改操作，数组变成 $[2,4,1,5,6,5]$ 。
修改操作，数组变成 $[2,4,1,5,6,5,1]$ 。
询问操作， $a_4,a_5,a_6,a_7$ 是 $a_3$ 的倍数。
询问操作， $a_6$ 是 $a_4$ 的倍数。

分析

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 4e5 + 10;
int a[N];
vector<int> fact[N], pos[N];
int n, m; 

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	//预处理约数 
	for(int i = 1; i <= 200000; i++)
		for(int j = 1; j <= 200000 / i; j++)
			fact[i * j].push_back(i);
	//预处理pos[] 
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 0; j < fact[a[i]].size(); j++){  //a[i]的所有约数 
			int x = fact[a[i]][j];
			pos[x].push_back(i);  //i下标位置的数是x的倍数 
		}
		
	while(m -- ){
		int op, x;
		scanf("%d%d", &op, &x);
		if(op == 1){  //x是值 
			a[++n] = x;
			for(int i = 0; i < fact[x].size(); i++){
				int y = fact[x][i];
				pos[y].push_back(n);
			}
		}
		else{  //x是下标 
			int l = 0, r = pos[a[x]].size() - 1;
			//找到大于等于x + 1的第一个位置和小于等于n的最后一个位置 
			int lidx = 0, ridx = 0;
			while(l < r){
				int mid = l + r >> 1; 
				if(pos[a[x]][mid] >= x + 1) r = mid;
				else l = mid + 1;
			}
			if(pos[a[x]][l] >= x + 1) lidx = l;  //可能移动到最右边 
			else{
				printf("%d\n", 0);
				continue;
			}
			l = 0, r = pos[a[x]].size() - 1;
			while(l < r){
				int mid = l + r + 1 >> 1;
				if(pos[a[x]][mid] <= n) l = mid;
				else r = mid - 1;
			}
			ridx = l;
//			if(pos[a[x]][l] <= n) ridx = l;
//			else{
//				printf("%d\n", 0);
//				continue;
//			}
			printf("%d\n", ridx - lidx + 1);
		}
	}
	
	return 0;
}

2、D题《阿宁的毒瘤题》

阿宁的毒瘤题

题目描述

阿宁被鉴定成毒瘤出题人。
一个长度为 $n$ 且仅有小写字母的字符串 $s$ ，阿宁的毒瘤程度为 $s$ 串的"udu"子序列的个数。
现在阿宁痛心疾首，想降低毒瘤程度。
阿宁想修改其中 $s$ 串的一个字符（也可以不修改。只能修改成小写字母），需要修改后毒瘤程度最小。

子序列：指按照原串的顺序取一些字符，组成新的字符串。例如"dudu"、“udu"是"dudovoudu"的子序列，而"uudd”、"abc"不是。

阿宁想知道修改后的 $s$ 是什么？

输入描述

一个仅包含小写字母的字符串 $s$ 。
$1\le len(s) \le 2\times 10^5$

输出描述

输出修改后的 $s$ 串。
如果答案有多个，输出任意一解即可。

示例1

输入：
dudovoudu

输出：
dddovoudu

说明

"dudovoudu"有 $4$ 个"udu"子序列，分别是 $s_2s_3s_7$ , $s_2s_3s_9$ , $s_2s_8s_9$ , $s_7s_8s_9$ 。
"dddovoudu"有 $1$ 个"udu"子序列，是 $s_7s_8s_9$ 。

分析

前缀和模拟即可，具体细节见代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
LL scu[N], c_ud[N], cf_du[N];
string s;

/**
	错误原因：c_ud和cf_du不能用前缀和的形式来计算后半段的ud、du数量，
			因为前半段中的u和后半段中的d是有耦合的。 
	正确统计后半段du数量的方法为从后往前扫描来统计。 
*/

int main(){
	cin >> s;
	int n = s.size();
	s = ' ' + s; 
	//预处理
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		scu[i] = scu[i - 1] + (s[i] == 'u');
	}
	
	//正向统计ud数量 
	int cntu = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(s[i] == 'u') cntu++;
		c_ud[i] = c_ud[i - 1] + (s[i] == 'd' ? cntu : 0);
	}
	
	//反向统计du数量
	cntu = 0;
	for(int i = n; i >= 1; i--){
		if(s[i] == 'u') cntu++;
		cf_du[i] = cf_du[i + 1] + (s[i] == 'd' ? cntu : 0);
	} 
	
	LL maxv = 0;  //最多削减的数量
	int idx = 1; 
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(s[i] == 'd'){
			LL lc = scu[i - 1], rc = scu[n] - scu[i];
			if(lc * rc > maxv){
				maxv = lc * rc;
				idx = i;
			}
		}
		else if(s[i] == 'u'){
			LL llc = c_ud[i - 1], rrc = cf_du[i + 1];
			if(llc + rrc > maxv){
				maxv = llc + rrc;
				idx = i;
			}
		}
	}
	
	s[idx] = 'a';
	cout << s.substr(1) << endl;
	
	return 0;
}

3、E题《阿宁的生成树》

阿宁的生成树

题目描述

阿宁有一个 $n$ 个节点的完全图，编号从 $1$ 到 $n$ 。对于点 $i$ 和点 $j(i<j)$ ，如果 $j−i≤k$ ，那么 $i$ 和 $j$ 之间有一条边权为 $lcm(i,j)$ 的边，否则有一条边权为 $gcd(i,j)$ 的边。

阿宁想求出该完全图的最小生成树。

输入描述

输入两个整数 $n,k$ 。
$1 \le n, k \le 2 \times 10 ^ 5$

输出描述

一个整数，表示最小生成树的边权和。

示例1

输入：
5 3

输出：
10

说明

其中的一个最小生成树：

分析

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
int n, k; 
LL ans;

int gcd(int a, int b){
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &k);
	int num = min(n, k + 1);
	ans = n - num;  //从k + 2到n的数量 
	for(int i = 2; i <= num; i++){
		int cur = i;  //lcm(1, cur) = i是lcm情况下的最小值
		for(int j = i + k + 1; j <= n; j++){
			cur = min(cur, gcd(i, j));
			if(cur == 1) break;
		} 
		ans += cur;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	
	return 0;
}

I题《阿宁前往沙城》

阿宁前往沙城

题目描述

沙城中有 $n$ 个城市，它的主宰沙神住在第 $n$ 号城市。

沙神将要在第 $n$ 号城市举办宴会。作为沙神的尘民阿宁，为了膜拜、歌颂沙神，将要从 $1$ 号城市前往 $n$ 号城市参加宴会。

沙神的尘民们都一个“沙卷”技能，阿宁也有这个技能：选择两条道路，使其中一条道路的通过时间变为 $1$ ，并毁灭另一条道路。被毁灭的道路无法通行，且无法被“沙卷”技能选择。
阿宁可以在任何时候使用任意次“沙卷”，使用“沙卷”不消耗时间。

为了不错过沙神的宴会，阿宁想要尽快到达 $n$ 号城市。最少需要多少时间才能到达 $n$ 号城市?

输入描述

第一行两个整数 $n,m$ 。
接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,w$ ，表示 $u$ 号城市和 $v$ 号城市有道路相连，通过该道路需要 $w$ 的时间（道路是双向的）。
保证在使用“沙卷”之前， $1$ 号城市能到达 $n$ 号城市。
$1\le n,m,w\le 2\times 10^5$
$1\le u,v\le n$

输出描述

输出一个整数，表示阿宁从 $1$ 号城市到达 $n$ 号城市的最短时间。

示例1

说明

使用“沙卷”使 $1-2$ 道路的通过时间变成 $1$ ，破环 $2-4$ 道路。
从 $1$ 号城市走到 $2$ 号城市，耗费时间 $1$ 。
从 $2$ 号城市走到 $3$ 号城市，耗费时间 $1$ 。
使用“沙卷”使 $5−3$ 道路的通过时间变成 $1$ ，破环 $2−3$ 道路。

从 $3$ 号城市走到 $5$ 号城市，耗费时间 $1$ 。

示例2

输入：
2 1
1 2 3

输出：
3

分析

$bfs$ + 贪心

贪心思想：每经过一条边，在之后就可以把这条边毁灭，然后把后一条路径变为 $1$ 。

这样如果 $dist[n] == m$ ，那么说明第一条边无法变为 $1$ 。否则如果 $dist[n] < m$ ，那么从 $1$ 号点到 $n$ 号点的路径中每一段权值都可以变成 $1$ 。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int h[N], e[2 * N], ne[2 * N], w[2 * N], idx;
int q[N], hh, tt;
int dist[N];
int n, m;
int minv = 1e9;

void add(int a, int b, int c){
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void bfs(){
	hh = 0, tt = -1;
	memset(dist, -1, sizeof dist);
	q[++tt] = 1;
	dist[1] = 0;
	while(hh <= tt){
		auto t = q[hh++];
		for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){
			int j = e[i];
			if(dist[j] == -1){
				dist[j] = dist[t] + 1;
				q[++tt] = j;
			}
		}
	}
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(h, -1, sizeof h);
	for(int i = 0; i < m; i++){
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c), add(b, a, c);
        //当1号点连着多条边时，dist[n]一定小于m，此时结果是dist[n]，与minv无关。
		if(a == 1 || b == 1){
			minv = c;  //最小起始边 
		}
	}
	bfs();
	if(dist[n] == m) printf("%d\n", (m == 1) ? minv : (minv + dist[n] - 1));
	else printf("%d\n", dist[n]);
	
	return 0;
}

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